อนุกรม

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น $\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, ...$ อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ $a_1 + a_2 + a_3 + ...$ อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ $\{1/2^n\}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots$

พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์ อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

สมบัติพื้นฐาน

อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้

กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง $\{a_n\}$ เรานิยามให้

$S_N =\sum_{n=0}^N a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_N$

เราเรียก $S_N$ ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ $\{a_n\}$ หรือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน $\{S_N\}$

ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น

เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ $\{S_N\}$ ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น

$\sum a_n$

หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้

อนุกรมลู่เข้าและลู่ออก

อนุกรม ∑$a_n$ จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ $\{S_N\}$ ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ $S_N$ เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n$

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ $a_n$ ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots$

อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า มากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2

นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้

$x = 0.111\dots$

เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม $0.1 + 0.01 + 0.001 + ...$ แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)

ตัวอย่างอนุกรม

• อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {1 \over 2^n}$

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

$\sum_{n=0}^\infty z^n$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|z| < 1$

• อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$

อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก

• อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}$

• สำหรับอนุกรมนี้

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r}$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ r > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ r ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ r ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

• สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี้

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ $b_n$ ลู่เข้าไปยังขอบเขต L ค่าหนึ่ง เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ $b_1 - L$

สมบัติอื่นๆ

อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้อีกโดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ $a_n$ (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ $a_n$ (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย

พจน์ที่ไม่เป็นลบ

เมื่อ $a_n$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ $S_N$ ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑$a_n$ ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ $S_N$ ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้

$\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}$

เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ

$\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2$

และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2

การลู่เข้าสัมบูรณ์

ดูบทความหลักที่: การลู่เข้าสัมบูรณ์

กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์

$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$

ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก

การลู่เข้าตามเงื่อนไข

ดูบทความหลักที่: การลู่เข้าตามเงื่อนไข

อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น

$\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots$

เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า $a_n$ เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S

การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ

$\sum a_n = \sum \lambda_n b_n$

เมื่อผลรวมบางส่วน $B_N = b_0 + ... + b_N$ ถูกจำกัดขอบเขต, $\lambda_n$ เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ $\lambda_n B_n$ มีลิมิต

$\sup_N \Bigl| \sum_{n=0}^N b_n \Bigr| < \infty, \ \ \sum |\lambda_{n+1} - \lambda_n| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges}$

แล้วอนุกรม ∑$a_n$ จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ

$\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n x)}{\ln n}$

โดยที่ $0 < x < 2\pi$ วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน $b_{n+1} = B_{n+1} - B_n$ และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑$a_n$ เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้

$\sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n$

อ้างอิง

• Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

ดูเพิ่ม

• อนุกรมเลขคณิต
• อนุกรมเรขาคณิต