Nach Studien in Erfurt und Göttingen trat er in den österreichischen Staatsdienst ein. Nachdem er 1771 Mitglied der Studien- und Zensur-Hofkommission geworden war, bereiste er im Auftrag Maria Theresias die deutschen Universitäten, um eine Reform des österreichischen Hochschulwesens vorzubereiten.
1792 wurde Birkenstock in das Zentralreferat der Vereinigten Hofkanzlei übernommen und kam 1795 zur neuen Studien-Revisionskommission, der auch sein Schwager Sonnenfels angehörte. Birkenstock verfasste eine Reihe weit vorausblickender Denkschriften zur Neuordnung des Schul- und Erziehungswesens, die unter anderem auch die Leibeserziehung einbezogen.
Da er auf dem Gebieten der Malerei und des Kupferstichs als Fachmann galt, bekleidete er an der Akademie der bildenden Künste die Stelle eines Rats.
In seinem Haus in der Erdbergstraße, das alsTreffpunkt von Personen des kulturellen Lebens seiner Zeit galt, besaß der Hausherr eine wertvolle Bibliothek und Kunstsammlung.
Zu Birkenstocks Gästen gehörte unter anderen Beethoven, der hier Bettina Brentano, die Schwägerin von Birkenstocks Tochter Johanna Antonia - diese hatte den Stiefbruder des Dichters Clemens Brentano geheiratet - kennenlernte.
Bettina Brentano stand im ständigen Briefwechsel mit Goethe, in dem sie Birkenstocks Haus, Bibliothek und Kunstsammlung ausführlich beschrieb.